Deret Taylor dan deret Maclaurin keduanya merupakan turunan tak terhingga dari suatu fungsi. Namun, ada beberapa perbedaan mencolok antara kedua seri tersebut. Dalam postingan blog ini, kita akan mengeksplorasi perbedaan tersebut dan melihat bagaimana perbedaan tersebut dapat digunakan untuk memecahkan masalah. Kami juga akan melihat beberapa contoh untuk membantu mengilustrasikan konsep-konsep ini.
Apa itu Taylor?
Jumlah Taylor adalah perkiraan fungsi yang dihitung dengan mengambil beberapa suku pertama dari deret Taylor. Deret Taylor adalah deret tak hingga yang digunakan untuk menyatakan suatu fungsi sebagai deret pangkat. Keuntungan menggunakan deret Taylor adalah dapat digunakan untuk mengaproksimasi suatu fungsi di titik mana pun, tidak hanya di titik yang didefinisikan.
- Kerugian menggunakan deret Taylor adalah seringkali sulit untuk menghitung koefisien dalam deret tersebut. Penjumlahan Taylor adalah salah satu cara untuk mengatasi kerugian ini dengan mengaproksimasi fungsi hanya dengan menggunakan beberapa suku pertama dari deret tersebut. Keuntungan menggunakan penjumlahan Taylor dibandingkan metode lain adalah bahwa metode ini biasanya lebih akurat daripada metode lain, dan dapat digunakan untuk mengaproksimasi suatu fungsi pada titik mana pun, tidak hanya pada titik di mana fungsi tersebut didefinisikan.
- Kerugian menggunakan penjumlahan Taylor dibandingkan metode lain adalah dapat memakan waktu lama untuk menghitung koefisien dalam deret. Jumlah Taylor adalah perkiraan fungsi yang dihitung dengan mengambil beberapa suku pertama dari deret Taylor.
- Keuntungan menggunakan penjumlahan Taylor dibandingkan metode lain adalah biasanya lebih akurat daripada metode lain, dan dapat digunakan untuk mengaproksimasi suatu fungsi pada titik mana pun, tidak hanya pada titik di mana fungsi didefinisikan. Kerugian menggunakan penjumlahan Taylor dibandingkan metode lain adalah bahwa menghitung koefisien dalam deret dapat memakan waktu lama.
Apa itu Seri Maclaurin?
- Deret Maclaurin adalah deret matematika yang digunakan untuk merepresentasikan suatu fungsi sebagai penjumlahan tak terhingga dari suku-suku. Seri Maclaurin sering digunakan dalam kalkulus dan analisis karena memungkinkan penentuan turunan dan integral dari suatu fungsi pada titik tertentu.
- Seri Maclaurin dinamai menurut ahli matematika Skotlandia Colin Maclaurin, yang pertama kali menurunkan seri tersebut pada awal abad ke-18. Teorema Maclaurin menyatakan bahwa jika suatu fungsi dapat dinyatakan sebagai deret pangkat, maka turunan fungsi tersebut dapat ditentukan dengan mengambil turunan yang berurutan dari suku-suku dalam deret tersebut.
- Dengan kata lain, turunan ke-n dari suatu fungsi dapat ditemukan dengan mengambil turunan ke-n dari setiap suku dalam Deret Maclaurin dan menjumlahkan turunannya. Seri Maclaurin dengan demikian merupakan alat yang ampuh untuk mempelajari fungsi dan sifat-sifatnya.
Perbedaan antara Seri Taylor dan Maclaurin
Deret Taylor dan Maclaurin adalah dua cara untuk mengaproksimasi suatu fungsi. Deret Taylor didefinisikan sebagai f(x) = f(a) + (x – a)f'(a) + ((x – a)^2)/2! f”(a) + … sedangkan Deret Maclaurin hanyalah kasus khusus dari Deret Taylor ketika a=0. Jadi dengan kata lain, Deret Maclaurin didefinisikan sebagai f(x) = f(0) + xf'(0) + (x^2)/2! f”(0) + … . Banyak fungsi umum dapat diperluas baik dalam deret Taylor atau Maclaurin.
- Misalnya, fungsi e^x dapat diperluas di keduanya: e^x = 1+ x+ (x^2)/2! + (x^3)/3! …. Ini adalah deret Taylor yang berpusat di x=0. Demikian pula: e^x = 1+ x+ (x^2)/2! + (x^3)/3! …. Ini adalah seri Maclaurin.
- Seperti yang Anda lihat, mereka identik secara aljabar kecuali untuk fakta bahwa semua suku telah digeser oleh satu dalam deret Taylor (karena kita sekarang memusatkannya pada x=1 alih-alih x=0).
- Secara umum, deret Taylor akan selalu memiliki lebih banyak suku daripada deret Maclaurin untuk fungsi yang sama karena ketika Anda memusatkannya pada titik selain 0, Anda akan selalu memiliki setidaknya satu suku yang tidak saling meniadakan. Turunan tingkat tinggi juga akan memperkenalkan istilah baru yang sebelumnya tidak ada.
Jadi secara umum, suatu fungsi memiliki jumlah deret Maclaurin yang tak terhingga tetapi hanya satu deret Taylor yang berpusat di titik tertentu. Itu sebabnya orang biasanya hanya mengacu pada seri “the” Taylor dan “the” Maclaurin– karena masing-masing seri itu sangat banyak, tetapi lebih mudah untuk memikirkannya sebagai satu konsep.
Kesimpulan
Deret Taylor dan Maclaurin sama-sama penting dalam pembelajaran matematika, tetapi penerapannya berbeda. Deret Taylor lebih umum digunakan karena mampu memperkirakan fungsi lebih akurat daripada deret Maclaurin. Namun, ada beberapa kasus di mana seri Maclaurin lebih cocok. Penting bagi matematikawan untuk mengenal keduanya sehingga mereka dapat memilih yang terbaik untuk setiap masalah individu.